Sau buổi học về vị trí tương đối của hai đường thẳng, những em có thể vẫn còn những băn khoăn về vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian. Sau đây, Trường Cao Đẳng Kiên Giang sẽ giảng giải một cách chi tiết và minh họa bằng những ví dụ liên quan tới bài học. Mời quý độc giả cùng tham khảo.
1. Lý thuyết về vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian lớp 11
1.1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
Trong không gian ba chiều, hai đường thẳng có thể nằm trùng nhau, song song hoặc cắt nhau. Tùy vào vị trí của hai đường thẳng đó mà ta có thể sử dụng những phương pháp khác nhau để xác định vị trí tương đối của chúng. Dưới đây là những trường hợp thường gặp:
Hai đường thẳng trùng nhau:
– Hai đường thẳng hoàn toàn trùng nhau, có cùng hướng và cùng điểm khởi đầu.
– Phương trình của hai đường thẳng là đồng nhất.
Hai đường thẳng song song:
– Hai đường thẳng có cùng hướng nhưng không cắt nhau.
– Phương trình của hai đường thẳng có dạng tương tự.
Hai đường thẳng cắt nhau:
– Hai đường thẳng có hướng khác nhau và cắt nhau tại một điểm duy nhất.
– Phương trình của hai đường thẳng có dạng khác nhau.
– Để tìm điểm cắt của hai đường thẳng, ta giải hệ phương trình hai đường thẳng đó.
Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song:
– Hai đường thẳng có hướng khác nhau và không cắt nhau.
– Ta có thể tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng bằng cách vẽ một đường thẳng vuông góc với cả hai đường thẳng và tính khoảng cách giữa hai điểm giao nhau của đường vuông góc và hai đường thẳng đó.
Trong không gian ba chiều, khi xét tới hai đường thẳng, chúng ta có thể quan tâm tới những trường hợp sau:
Thứ nhất, nếu như hai đường thẳng nằm trên cùng một mặt phẳng, thì chúng có thể nằm ở ba vị trí tương đối khác nhau như sau:
– Hai đường cắt nhau tại một điểm duy nhất.
– Hai đường song song nhau, không có điểm chung.
– Hai đường trùng nhau, có vô số điểm chung.
Thứ hai, nếu như hai đường thẳng không nằm trên cùng một mặt phẳng, chúng không có điểm chung và được gọi là hai đường thẳng chéo nhau.
Để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian, có hai tiêu chí thường được sử dụng, đó là số điểm chung và sự đồng phẳng. Tuy nhiên, trong hệ tọa độ Oxyz, việc vận dụng hai tiêu chí này có thể gặp vấn đề và đòi hỏi tính toán phức tạp. Thay vào đó, chúng ta có thể sử dụng tính chất có hướng và đồ thị để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng một cách nhanh chóng và hiệu quả.
1.2. Hai đường thẳng song song
Tính chất của hai đường thẳng song song:
Tính chất 1: Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
Tính chất 2: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Định lý (về giao tuyến của ba mặt phẳng):
nếu như ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.
Hệ quả (Định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng):
nếu như hai mặt phẳng phân biệt tuần tự chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến (nếu như có) của hai mặt phẳng nói trên sẽ song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
2. Một số dạng bài tập về vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng song song
Phương pháp giải: Sử dụng một trong những cách sau
– Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng rồi vận dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng.
– Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song với một đường thẳng thứ ba.
– vận dụng định lí về giao tuyến song song.
– vận dụng hệ quả: nếu như hai mặt phẳng phân biệt tuần tự chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu như có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
Dạng 2: Chứng minh bốn điểm đồng phẳng, ba đường thẳng đồng quy trong không gian
Phương pháp giải:
Chứng minh bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng ta tìm hai đường thẳng a, b tuần tự đi qua hai trong bốn điểm trên và chứng minh a, b song song hoặc cắt nhau. lúc đó A, B, C, D thuộc mặt phẳng (a, b).
Chứng minh ba đường thẳng đồng quy Phương pháp giải:
Cách 1: Chứng minh đường thẳng thứ nhất đi qua giao điểm của hai đường thẳng còn lại.
Cách 2: Chứng minh ba đường thẳng đôi một cắt ị nhau và chúng đôi một nằm trong ba mặt phẳng phân biệt
3. Một số bài tập vận dụng vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian lớp 11
Tự luận:
Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S tuần tự là trung điểm của những cạnh AC, BD, AB, AD, BC, CD. Chứng minh P, Q, R, S đồng phẳng.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC. Gọi E, F tuần tự là trọng tâm những tam giác SBC và SAB. Chứng minh EF // AC.
Trắc nghiệm:
Bài 1: Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm tam giác ABD, N là trung điểm của AD, M là trung điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. MG // CN
B. MG và CN cắt nhau
C. MG // AB
D. MG và CN chéo nhau
Bài 2: Giả sử có ba đường thẳng a, b, c trong đó b // a và c // a. Những phát biểu nào sau đây là sai?
(1) nếu như mặt phẳng (a, b) không trùng với mặt phẳng (a, c) thì b và c chéo nhau
(2) nếu như mặt phẳng (a, b) trùng với mặt phẳng (a, c) thì ba đường thẳng a, b, c song song với nhau từng đôi một
(3) Dù cho hai mặt phẳng (a, b) và (a, c) có trùng nhau hay không, ta vẫn có b // c
A. Chỉ có (1) sai.
B. Chỉ có (2) sai
C. Chỉ có (3) sai
D. (1), (2) và (3) đều sai
Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q tuần tự là trung điểm của những cạnh AB, AD, CD, BC. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. MN // BD và 2MN = BD
B. MN // PQ và MN = PQ
C. MNPQ là hình bình hành
D. MP và NQ chéo nhau
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’, B’, C’, D’ tuần tự là trung điểm của những cạnh SA, SB, SC, SD. Đường thẳng nào không song song với A’B’?
A. AB
B. CD
C. SC
D. C’D’
Bài 5: Trong những mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thẳng chéo nhau khi chúng không có điểm chung
B. Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau
C. Hai đường thẳng song song nhau khi chúng ở trên cùng một mặt phẳng
D. Khi hai đường thẳng ở trên hai mặt phẳng thì hai đường thẳng đó chéo nhau
Bài 6: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J theo trình tự là trung điểm của AD và AC, G là trọng tâm tam giác BCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (GIJ) và (BCD) là đường thẳng:
A. Qua I và song song với AB
B. Qua J và song song với BD
C. Qua G và song song với CD
D. Qua G và song song với BC
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với những cạnh đáy AB và CD. Gọi I, J tuần tự là trung điểm của những cạnh AD và BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAB) và (IJG):
A. Là đường thẳng song song với AB
B. Là đường thẳng song song với CD
C. Là đường thẳng song song với đường trung bình của hình thang ABCD
D. Cả A, B, C đều đúng
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD):
A. Là đường thẳng đi qua S song song với AB, CD
B. Là đường thẳng đi qua S
C. Là điểm S
D. Là mặt phẳng (SAD)
Ngoài ra, những em có thể tải về và tham khảo tài liệu ôn tập chi tiết về vấn đề vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian: Tại đây
Sau buổi học về vị trí tương đối của hai đường thẳng, những em có thể đã nắm được tri thức cần thiết. Trường Cao Đẳng Kiên Giang đã giảng giải một cách chi tiết và minh họa bằng những ví dụ liên quan tới bài học. Hy vọng những chia sẻ này sẽ giúp những em chuẩn bị tốt hơn cho việc học toán lớp 11.
Trên đây là toàn bộ nội dung bài viết của Trường Cao Đẳng Kiên Giang liên quan tới vấn đề: Ý kiến người thứ ba về cấp giấy chứng thực đăng ký nhãn hiệu. Mọi thắc mắc chưa rõ hay có nhu cầu hỗ trợ vấn đề pháp lý khác, quý khách hàng vui lòng liên hệ với phòng ban tư vấn pháp luật trực tuyến qua số hotline: 1900.6162 hoặc gửi yêu cầu tư vấn qua email: [email protected] để được hỗ trợ và tư vấn kịp thời. Xin trân trọng cảm ơn quý khách hàng đã quan tâm theo dõi bài viết của Trường Cao Đẳng Kiên Giang.
